吳俊杰老師于17年7月初發布了一道Scratch題目，如圖所示。經過4個小時的奮戰，我終于搞定了這道題目。下面我對本程序進行匯整、說明：首先介紹數學反證法證明周長一定時正多邊形面積最大；接著介紹Scratch反證法的思路；然后介紹程序的操作方法；最后介紹程序的數學原理以及設計思路。

一、數學證明

首先證明等周定理，然后利用等周定理即可得到推論：等周多邊形面積最大是其正多邊形。等周定理的定義：在周長一定的所有封閉平面曲線中，圓所圍的面積最大。下面先來證明等周定理。證明：設K是周長一定而面積最大的圖形，只要證明K是一個圓即可。以下分三步來完成。

第一步：用反證法證明K是凸多邊形。如下圖所示，若K是一個凹圖形， 那就一定可以在它上面找到兩點A、B，其連線落在圖形K的外部。以AB為軸，把曲線AmB對稱到另一側，稱為曲線Am’M。圖形AmBC與圖形A m’BC的周長相等，而后者面積更大，這與K有最大面積矛盾。故K只能是凸圖形。

第二步：用反證法證明平分K的周長的弦也一定平分其面積。如下圖所示，設凸圖形K有最大面積，AB平分它的周長，且弦AB把K分成兩部分Σ1和Σ2。Σ1≠Σ2，不妨設Σ1>Σ2，以AB為軸，把ACB對稱到另一側AC’B處，則周長ACBC’A等于K的周長，但面積ACBC’A>K的面積，這與K有最大面積矛盾。所以，平分K的周長的弦也一定平分其面積。

第三步：證明平分周長、面積的弦是直徑，從而K為圓。?用反證法。設AB平分K的周長和面積，在K的邊界上任取一點C，只需證ACB為半圓。若不然，∠ACB≠90°，將下圖左側中的Σ1、Σ2剪下來，貼成另一個圖形（下圖右側），其中A’C’=AC，B’C’=BC，∠A’C’B’=?90°。這兩個圖形中，曲線ACB的長等于曲線A’C’B’的長，但后者面積較大，與K有最大面積矛盾。故ACB為半圓，從而K是圓。

于是，證得了等周定理：在所有等周的平面封閉圖形中，以圓的面積為最大。下面證明周長相等的多邊形中，正多邊形的面積最大。

證明：在所有周長相等的圖形中，正多邊形與圓形最接近，由等周定理的定義可知，正多邊形的面積最大。

參考文獻

《探索等周定理的推廣及其應用》

https://wenku.baidu.com/view/277a9c6169eae009581bec99.html

二、Scratch反證法

根據之前的證明可知正多邊形面積最大，因此本程序可能的設計思想如下：

1. 展示如上數學證明思路。這樣做雖然簡單，但是很抽象，需要用戶詳細地跟隨程序的指引完成證明過程。

2. 給定正多邊形，讓用戶拖拽多邊形頂點，同時保證等周的條件。如果用戶找不到更大面積的情形，即反證了本題目。這樣做雖然復雜，但是用戶體驗好，且有數學證明保證正確性。本程序選擇此設計方法。

三、程序操作說明

四、程序數學原理

?????? 本程序的難點在于拖拽頂點時保證等周，即周長不變。顯然，橢圓的第一定義可以滿足這一點：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數2a (2a>|F1F2|) 的動點P的軌跡叫做橢圓。即 |PF1|+|PF2|=2a。

根據定義可知，F1P+F2P=F1P’+F2P’，這就是等周的關鍵。當點擊某個頂點時，得到左右相鄰兩頂點的坐標，以此作為橢圓的兩焦點，計算F1P+F2P后即可得到橢圓的各個參數，然后限制頂點P的移動再次橢圓軌跡上即可保證等周。橢圓的一般化參數方程如下：

其中參數t決定了頂點位于橢圓線上的位置，可以設置為鼠標在舞臺上的角度；參數τ是橢圓和x軸的夾角；參數a、b是橢圓的長短軸長度；(h, k) 是橢圓中心點所在坐標。

參考文獻

《Using the Ellipse to Fit and Enclose Data Points》

http://www.cs.cornell.edu/cv/OtherPdf/Ellipse.pdf

五、程序細節展示

?????? 本文僅展示核心腳本。當點擊某個頂點后，程序會尋找該點左右相鄰的兩個頂點坐標：

變量beforePointX和beforePointY是第一個相鄰點（即橢圓的第一個焦點）的XY坐標，變量afterPointX和afterPointY是另一個相鄰點（即橢圓的第二個焦點）的XY坐標。變量_C保存了當前頂點到兩焦點的長度和，即橢圓第一定義中的2a。接著計算橢圓參數方程中的關鍵參數：

變量c1c2顯然是橢圓中心點位置，即參數方程中的 (h, k)；_C除以2即橢圓的半長軸a；根據橢圓a2-b2=c2可以計算變量b的值；最后計算τ，需要注意水平情況，即在橢圓未發生傾斜時，斜率公式分母為0，所以要特殊處理。得到基礎數據后便可設置頂點的位置：

變量鼠標方向就是參數方程中的t，設置為鼠標的當前方向：

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